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偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明)

想要玩转高中函数知识,就得熟练掌握函数的图像与性质。这里的函数包括具体的基本初等函数以及抽象函数。小朋友们要能够在函数解析式、图像、性质之间自由切换。

一:函数图像的变换

除了熟练掌握好基本初等函数的图像外,同学们也得学会应对各种图像变换。这样,才能画好函数的图像。

1:平移变换

(1)水平平移:函数y = fx + a)的图像可以把函数y = fx)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位即可得到;

(2)竖直平移:函数 y = fx)+ a 的图像可以把函数 y = fx)的图像沿x轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位即可得到。

2:对称变换

(1)函数 y = f(-x) 的图像可以将函数 y = fx)的图像关于y轴对称即可得到;

(2)函数 y = – fx) 的图像可以将函数 y = fx)的图像关于x轴对称即可得到;

(3)函数 y = – f(-x) 的图像可以将函数 y = f(x)的图像关于原点对称即可得到;

3:翻折变换

(1)函数 y =|fx)| 的图像可以将函数 y = fx)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉x轴下方部分,并保留 y = fx)的x轴上方部分即可得到;

(2)函数 y = f(|x|) 的图像可以将函数 y = fx)的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y = fx)在y轴右边部分即可得到。

4:伸缩变换

(1)函数 y = a fx)(a>0)的图像可以将函数 y = fx)的图像中的每一点横坐标不变,纵坐标伸长(a>1)或压缩(0<a<1)为原来的a倍得到;

(2)函数 y = fax) (a>0)的图像可以将函数 y = fx)的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标压缩(a>1)或伸长(0<a<1)为原来的1/a倍得到;

下面以画函数 y = ln|2-x|的图像为例,来说明这一过程,

第一步:先画出函数 y = lnx的图像

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-1

 

第二步:进行翻折变换,得到函数 y = ln|x|的图像

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-2

 

第三步:进行对称变换,得到函数 y = ln|-x|的图像

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-3

 

第四步:进行平移变换,得到函数 y = ln|2-x|的图像

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-4

 

二:性质的变换

我们知道奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,在这个意义上,奇偶性可看作对称性的一种特殊情况。另外,通过与周期性的结合,会呈现出更多的对称性(包括对称轴和对称中心)。下面分析以下几种常见的类型。

1:双对称

如果f(x)的图像有两种对称方式,则一定是周期函数。我们有如下结论:

(1)若f(x)关于x=a对称,且关于x=bab)也对称,则f(x)是周期函数,周期为2|ab|;

(2)若f(x)关于点(a,0)对称,且关于点(b,0)(ab)也对称,则f(x)为周期函数,周期为2|ab|;

(3)若f(x)关于点(a,0)对称,且关于直线x=bab)对称,则f(x)为周期函数,周期为4|ab|。

另外,对称性本身有如下结论,要牢记:

(1)若f(x)关于直线x=a对称,则有f(x)=f(2ax)或f(x+a)=f(ax)成立;

(2)若f(x)关于点(a,0)对称,则有f(x)=-f(2a-x)或f(x+a)=-f(ax)成立。

2:奇、偶函数的另一个对称轴(或对称中心)

如果定义在R上的函数是奇函数或偶函数,且有另一个对称轴或对称中心,则此类双对称函数一定是周期函数,且有如下规律:

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-5

 

3:平移对称

(1) 若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图像关于直线x=a对称;

(2) 若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图像关于点(a,0)对称。

以上性质间的切换不可死记硬背,一定要掌握具体的推导方法。

以下是函数的图像与性质中涉及到的一些经典题目,敬请鉴赏。

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-6

 

偶函数关于什么对称(f(a+x)=f(a-x)对称轴的证明) : 文章标题-7

 

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